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De Onde Vem a Interpolação Exponencial?

nov 26, 2024 #curvas de mercado, #estrutura a termo, #interpolação exponencial por Gean Pens

A precificação de operações com pagamentos de fluxos financeiros em datas futuras faz parte do cotidiano do mercado, mas este tipo de cálculo requer o conhecimento da taxa da juros apropriada para cada vencimento. Cada taxa, de cada vencimento, é obtida através das suas (no plural mesmo) respectivas curvas observadas no mercado.

Estas curvas de mercado são construídas, normalmente, a partir de vértices, que são os pontos no tempo para os quais temos informações sobre o valor da taxa de juros, nos dando uma estrutura da taxa ao longo do tempo. Esta é a estrutura a termo da taxa de juros.

Uma boa fonte para se obter esses pontos são os contratos de instrumentos financeiros negociados pelos grande operadores, que atuam no mercado em operações especulativas ou de hedge. Tais contratos geralmente apresentam alto grau de liquidez, baixo risco de crédito e, principalmente, refletem o consenso do mercado para aquela data de vencimento.

Estrutura da taxa de juros com vértices hipotéticos.

O problema desta abordagem esta no número limitado de horizontes temporais que esses contratos derivativos, de modo que não possuímos a informação da taxa para as datas entre os vértices. É aí que entra a interpolação, permitindo estimar o valor da taxa de juros entre dois pontos para os quais já temos a informação.

Curva de juros hipotética interpolada a partir dos vértices.

Assim, a interpolação liga os pontos da curva, permitindo que tenhamos uma informação contínua, desse modo sendo possível “caminhar” por toda a extensão temporal. Existe um leque de opções de interpolação, que devem ser escolhidas levando em consideração o tipo de função que estamos tentando interpolar. Possuímos interpolações para funções lineares, trigonométricas, polinomiais, bilineares, curvas spline, dentre outras. Porém, quando estamos tratando de taxas de juros, estamos tratando de funções exponenciais, para isso usamos a interpolação exponencial.

Para construirmos a função de interpolação exponencial, partiremos de uma função exponencial de capitalização contínua. A capitalização contínua pode ser compreendida tomando como base a capitalização discreta, comumente abordada nas aulas de matemática financeira. A capitalização discreta nos dá o valor futuro (v), partindo de um principal (p), capitalizado por uma taxa r em n períodos de t anos, assumindo a forma:

$\displaystyle \centering v=p\left(1+\frac{r}{n}\right)^{nt}$

O nome é “capitalização discreta” pois é capitalizada em intervalos discretos n ao longo dos anos. A medida que n aumenta, isto é, o principal é capitalizado em um maior número de intervalos, com o montante cresce mais rapidamente.

Quando falamos em capitalização contínua, estamos tratando n como uma variável que tende ao infinito, de modo que o acréscimo do juros ao capital seja instantâneo, logo, para o valor futuro sobre uma taxa de capitalização contínua será dada por:

$\displaystyle \centering v=p\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{r}{n}\right)^{nt}$

Aplicando o limite fundamental exponencial, dado por:

$\displaystyle \centering \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e$

Por fim, obtendo a função de capitalização contínua definida como:

$\displaystyle \centering v=p\cdot e^{rt}$

Com uma função de ponto de partida e conhecidos os valores da taxa nos vértices, podemos partir para a construção da função de interpolação. Para isso, vamos supor dois vértices, (x₁,y₁) e (x₂,y₂), para os quais queremos descobrir a taxa y para um valor intermediário x, dado por uma função y(x) que varia a partir de uma taxa de capitalização contínua.

Se queremos encontrar a taxa y no período de tempo x, partimos da função de capitalização contínua, onde a taxa anterior y₁ será o nosso “principal” (que pode ser entendido como o ponto de partida), capitalizada por uma constante k que será a taxa que define a velocidade com que y₁ varia em um período de tempo t=x-x₁. Matematicamente falando, obtemos:

$\displaystyle \centering y(x)=y_1\cdot e^{k(x-x_1)}$

Essa função descreve uma variação exponencial de y(x) à medida que x varia, assumindo que a taxa de variação relativa é constante. Onde k define a velocidade do crescimento ou decaimento, com o fator e^k(x-x₁) ajustando o valor de y(x) conforme x varia entre x₁ e x₂.

Essa é a forma geral para modelar qualquer processo onde a taxa de mudança é proporcional ao valor atual da variável, uma característica típica de fenômenos que seguem um padrão de variação exponencial. Na interpolação exponencial, ela nos permite descrever transições suaves entre dois pontos de dados quando a variação segue uma curva exponencial.

Para descobrirmos o valor de y no ponto x precisamos descobrir o valor de k. Para isso, podemos partir de uma condição que sabemos ser verdadeira, y(x) dever ser igual a y₂ no ponto x₂, ou em termos:

$\displaystyle \centering y_2=y_1\cdot e^{k(x_2-x_1)}$

Para isolar k, dividimos a expressão por y₁ e aplicamos o logaritmo natural, resultando em:

$\displaystyle \centering ln\left(\frac{y_2}{y_1}\right)=k(x_2-x_1)$

Finalmente, resolvemos para k:

$\displaystyle \centering k=\frac{\ln\left(\frac{y_2}{y_1}\right)}{x_2-x_1}$

Agora, para chegarmos até y(x), substituímos k na equação original, obtendo:

$\displaystyle \centering y(x)=y_1\cdot e^{\frac{\ln\left(\frac{y_2}{y_1}\right)}{x_2-x_1}(x-x_1)}$

Simplificando:

$\displaystyle \centering y(x)=y_1\cdot e^{\ln\left(\frac{y_2}{y_1}\right)\cdot\frac{x-x_1}{x_2-x_1}}$

E aplicando a propriedade dos logaritmos (e^ln(a)=a) chegamos na equação final:

$\displaystyle \centering y(x)=y_1\cdot\left(\frac{y_2}{y_1}\right)^{\frac{x-x_1}{x_2-x_1}}$

A equação acima é a Função de Interpolação Exponencial, nela y(x) é interpolado na forma exponencial entre os vértices conhecidos, y₁ e y₂, com o expoente ajustando a proporção da variação entre x₁ e x₂, determinando quanto x se aproxima de x₁ ou x₂. Assim, a interpolação exponencial assume uma transição suave e contínua entre os dois valores conhecidos, permitindo que tenhamos uma estimativa da taxa de juros para qualquer prazo de vencimento.

Os sistemas de risco de mercado da Élin Duxus utilizam interpolação exponencial para precificação de fluxos financeiros.

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